Портал Гимназии №1505 ( до 01 сентября 2014)

Всё исправлено

Содержание.

1) Введение…………………………………………………………………2
2) Вписанная окружность………………………………………………….3
3) Описанная окружность………………………………………………….6
4) Заключение………………………………………………………………9
5) Список литературы…………………………………………………….10

Введение.

Тема моего исследования «Решение задач с использованием понятий вписанная и описанная окружность»
Изучение планиметрии начинается с темы треугольники. В школьном курсе изучаются признаки равенства треугольников, центральное место в нем занимают метрические свойства треугольников, затем идет серия теорем о замечательных «точках треугольника» и в конце курса изучают подобные треугольники. Таким образом, треугольники являются как бы тем стержнем, вокруг которого формируется курс элементарной геометрии.
Не смотря на то, что треугольник является почти самой простой фигурой после отрезка, он имеет ряд важных и интересных свойств. И это утверждение я решил взять за основу своей работы. На мой взгляд, наиболее интересно и понятно это можно проиллюстрировать, рассмотрев тему «Вписанная и описанная окружность».
Цель моего исследования направлена на изучение задач, которые решаются с использованием понятия радиуса вписанной и описанной окружности. Для этого я определил для себя следующие задачи:
1) Ознакомиться с научной литературой по данной теме.
2) Разобрать свойства радиуса вписанной и описанной окружности.
3) Представить некоторые типы задач, где используются свойства радиуса вписанной и описанной окружности.
Несомненно, с самых ранних времен человек пытался постичь точные науки. Не исключением была и математика, однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например одному из известнейших древнегреческих ученых - Евклиду. Им были собраны основные знания античной математики и объединены в научный трактат под названием «Начала», написанный в третьем веке до нашей эры. В этом сочинении он подвел итог трехсотлетнему развитию греческой математики, систематизировал накопленные математические знания и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Начала Евклида» состоят из 15 книг, в своей четвертой книге Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник».
Окружность- это множество точек плоскости, удаленных от некоторой точки, ее центра на одно и тоже расстояние или радиус. Радиусами так же называют отрезки, соединяющие центр с точками окружности. Хорда- это отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Он вдвое длиннее радиуса и является наибольшим возможным расстоянием между точками окружности.
Вписанная окружность.

Окружность вписана в данный многоугольник, если она касается всех его сторон.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность и при том только одну.
Дано: АВС.
Доказать: 1) существует окружность( о:r), касающаяся всех сторон .
Доказательство: Проведем биссектрисы углов А и С АВС и точку из пересечения обозначим буквой О. Докажем что точка О и есть центр искомой окружности. Проведем ОН АС, ОМ АВ, ОК ВС, где Н,М,К лежат на сторонах АВС. МОА= НОА( по гипотенузе и острому углу). НОС= КОС(по гипотенузе и углу), следовательно ОН=ОК. т.к. ОМ=ОН, ОН=ОК, то ОМ=ОК. соединим точку О и В- получим 2 треугольника МОВ и КОВ: они прямоугольные, катеты ОМ=ОК, гипотенуза ОВ- общая, следовательно МОВ= КОВ, значит МВО= КВО, то есть ВО - биссектриса В.
Таким образом, точка О - точка пересечения биссектрис АВС и она равно удалена от всех его сторон (ОН=ОМ=ОК). Можно утверждать что т. О - центр вписанной окружности, r =ОН, точки Н, М, К - точки касания окружности со сторонами треугольника.
Единственность этой окружности можно доказать используя метод доказательства от противного. Допустим, сто существует еще одна окружность с центром в т. О, касающаяся всех сторон АВС. Тогда О1 должна быть точкой пересечения биссектрис треугольника, значит О1 лежит на биссектрисах углов А и С АВС, но и т. О тоже лежит на этих биссектрисах, следовательно, две прямые пересекаются в двух точках, тогда эти прямые должны совпасть, т.е. биссектриса угла А совпадает с биссектрисой угла С, следовательно, точки а, О, О1,С, В - лежат на одной прямой, но это не соответствует условию задачи, что есть фигура АВС, следовательно, вершины не могут находиться на одной прямой. Получаем противоречие с условием, можно сделать вывод что т. О и О1 совпадают.
Итак, в любой треугольник можно вписать окружность, ее центр- это точка пересечения биссектрис треугольника.
Докажем что r =S/p, где r-радиус вписанной окружности,S-площадь ,p-полупериметр.
SABC=S AOB+S BOC+S AOC=1/2AB*OM+1/2BC*OK+1/2AC*OH=1/2c*r+1/2b*r+1/2a*r =1/2r( a+b+c)=1/2r*P=rp
S=rp, следовательно, r =S/p, что и требовалось доказать.
Рассмотрим частные случаи:
1) Равносторонний треугольник со стороной а.
В равностороннем треугольнике биссектрисы являются медианами, следовательно, центр вписанной окружности есть точка пересечения медиан, которые делятся в отношении 2:1, считая от вершины. r =1/3BH, где ВН - высота, проведенная к стороне. ВН= а2-а2/4=a 3/2. r =1/3*a 3/2=a 3/6.
an=2rtg1800/n;
a3=2rtg600=2r 3;
2) прямоугольный треугольник с катетом a и b, гипотенузой с.
c=a-r+b-r;
c=a+b-2r;
2c=P-2r;
2r =P-2c;
r =p-c, где p-полупериметр, с-гипотенуза.
Задача1.
Периметр прямоугольного треугольника равен 24см. точка касания, вписанного в него круга, делит гипотенузу в отношении 2:3. найти радиус вписанного круга.
Решение:
x>0; пусть АН=2х, ВН=3х, тогда АК=2х, ВМ=3х (это следует из равенства треугольников), КС=СМ=r.
AC+AB+CB+=24
r+2x+5x+3x+r=24
2r+10x=24
R+5x=12, r=12-5x
По теореме Пифагора:
(r+2x)2+(r+3x)2=(5x)2
2r2 +10rx+13x2-25x2=0
2r2+10rx-12x2=0
r2+5rx-6x2=0
(12-5x)2+5x (12-5x)-6x2=0
144-120x+25x2+60x-25x2-6x2=0
-6x2-60x+144=0
x2+10x-24=0
x=-12(не удовлетворяет условию) х=2
r=12-5*2=2
Ответ: 2см.
Задача2.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13см, а радиус вписанной окружности равен 2см. найти периметр треугольника.
Решение:
r =p-c
2=p-13
p=15, следовательно Р=30см.
Ответ: 30см.
Окружность можно вписать в другие многоугольники.
Теорема: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Верно и обратное утверждение, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны.
Доказательство: Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой, которая гласит: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то есть BK=BP, CP=CH, DH=DT, AT=AK. Суммируем стороны AB и CD: AB+CD= (AK+KB) + (DH+HC) =AT+BP+DT+CP= (AT+TD) + (BP+PC) =AD+BC. ч.т.д.

Описанная окружность.

Окружность описана около данного многоугольника, если все вершины данного многоугольника лежат на окружности.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность и при том только одну (у острого треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного - вне треугольника, а у прямоугольного на середине гипотенузы).
Дано АВС.
Доказать: существует окружность(o,R), проходящая через все точки вершины треугольника.
Доказательство: рассмотрим произвольный АВС. Обозначим буквой О точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то АО=ОВ=ОС. По этому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.
Единственность этой окружность можно доказать используя метод доказательства от противного. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и по этому совпадает с точкой О пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
Итак, около любого треугольника можно описать окружность и ее центром будет точка пересечения серединных перпендикуляров.
Радиус описанной окружности можно рассчитать по формулам: R=abc/4S = a/2sinL. Где “a,b,c”- стороны треугольника. L- угол лежащий против стороны “a”, p-полупериметр, B-угол лежащий против стороны “b”, C- угол лежащий против стороны “c”.
Докажем что: R=abc/4S. Где R– радиус описанной окружности, а,b,с,- стороны треугольника, а S–площадь треугольника.
По следствию из теоремы синусов: a/sinL=2R. Используя основные свойства дроби, получаем: a/sinL=abc/bcsinL=abc/2(1bcsinL)=abc/2S .
Тогда abc/2S =2R, следовательно, R=abc/4S .
Рассмотрим частные случаи:
an=2Rsin180\n;
a3=2Rsin600=R 3;

Задача1.
Дан равнобедренный треугольник: 10,10,8. найти R.
Решение: Первый способ:
R=abc/4S; H= 100-16= 84=4 21.
S=1/2ah=1/2*8*4 21=8 21.
R=10*10*8/4*8* 21=25/ 21.
Второй способ:
1) Так как центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, а треугольник равнобедренный, то О - центр лежит на высоте, проведенной к основанию, тогда ОА=ОВ=ОС=R.
2) ВН=2 21.
3) ОН=ВН-ВО=2 21-R.
4) R2=16+(2 21-R)2
R2=16+84-4R 21+R2
4R 21=100
R=100/4 21=25/ 21.
Задача2.
В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота- 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.
1) Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
2) АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО - х, ОК=8-х.
3) АО2=АК2+КО2; ОВ2=ВН2+НО2; так как ОА2=ОВ2, получим:
АК2+КО2=ВН2+НО2;
(21/2)2+(8-х)2=(9/2)2+х2;
441/4+64-16х+х2=81/4+х2;
16х=441/4-81/4+64;
16х=90+64;
Х=157/16=77/8;
4) R2=(9/2)2+x2=81/4+772/64=81*16+772/64=7225/64:
R= 7225/64=5*17/8=85/8=10,625.
Задача3.
В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15 сантиметров, средняя линия 16 сантиметров, и большее основание является диаметром окружности. Найти площадь трапеции.
1) АС CD, так как АСD- вписанный и опирается на диаметр.
2) Пусть ВС =х, тогда AD+x/2=16, AD=32-x;
DE=AD-BC/2=32-x-x/2=16-x;
AE=AD-DE=32-x-16+x=16;
3) CE= AE*ED= 16(16-x) =4 16-x;
4) CE2=CD2-ED2; (4 16-x)2=152-(16-x)2;
16(16-x)=225-(16-x)2 ; 16-x=t ;
t2-16t-225=0 ;
D=256+4*225=256+900=1156 ;
t=-16+34/2=9 ; t=-16-34/2=-25 ;
16-x=-25 ; 16-x=9 ;
x=41(не удовлетворяет условию) x=7 ;
5) CE= 16*9=12=h
6) S=16*h=16*12=192 см2.

Заключение.

Таким образом, в своем реферате я выполнил все поставленные передо мной задачи и достиг намеченной цели:
1) Ознакомился с научной литературой по данной теме.
2) Разобрал свойства радиуса вписанной и описанной окружности.
3) Представил некоторые типы задач, где используются свойства радиуса вписанной и описанной окружности.
В основной части моей работы я рассмотрел решения некоторых видов задач, которые решаются с понятием радиуса вписанной и описанной окружности, и отразил главные свойства вписанной и описанной окружности. Но и считаю, что данная тема, очень объемная и многогранная, поэтому мне не удалось решить все возможные типы задач с использованием радиуса вписанной и описанной окружности и систематизировать их.
В дальнейшем я бы хотел продолжить изучение данной темы и систематизировать все полученные знания.

Список литературы:

1) Энциклопедия «Аванта+/ математика»
2) Атанасян Л. С. Бутузов. В. Ф. Кадомцев. С. Б. Позняк. Э. Г. Юдина И. И. «Геометрия 7-9»

Продукт исследования, предположительно закончен.